Sous Différentiel Limite Et Problèmes Approchés.

Résumé: En effet dans un premier chapitre, on fait un certain nombre de rappels sur l'optimisation différentiable et non différentiable nécessaire à la compréhension de tout ce qui suit. Nous proposons dans un deuxième chapitre une étude de la théorie générale des fonctions non lisse qui sont définies sur les espaces d'Asplund, cette sous classe des espaces de Banach à donné lieu à un travail capital avec des importantes applications en optimisation. Ce chapitre apporte aussi une contribution nouvelle du sous-différentiel limite. Ce sous-différentiel introduit par Mordukhovich comme une sorte de limite supérieure de sous différentiels de Fréchet qui n'est pas convexe en général bien que le sous-différentiel de Fréchet d'une fonction en un point soit convexe. Ce sous-différentiel ne relève pas non plus de la théorie des approximations au sens de Ioffe. Dans le troisième chapitre, nous considérons d'abord des règles de calcul pour des sous différentiels dans des contextes différents, le calcul (pour la somme et la composition, par exemple). Dans ce chapitre, nous avons développé des règles de calcul sous-différentiel avec des données non-lipschitziennes dans le cadre des espaces d'Asplund pour le sous-différentiel de Fréchet et sa version limite qui ont été introduit par Mordukhovich comme une généralisation naturelle de la dérivée de Fréchet. En d'autre termes, l'on se propose de prouver que sous certaines hypothèses, le sous-différentiel limite (respectivement singulier) d'une somme de fonctions en un point de l'intersection des domaines est contenu dans la somme des sous différentiels limites (respectivement singuliers) de chacune de ces fonctions au point considéré. Et aussi d'établir des règles de calcul du sous-différentiel limite d'un produit et d'un quotient de fonctions. L'on s'intéressera également au sous différentiel limite de fonctions maximum (respectivement minimum). Dans le quatrième chapitre, nous proposons l'étude des problèmes approchés au sens de Ioffe, dans le but de dégager des conditions d'optimalité dans des situations différentes sachant que les cas ou les données d'un problème d'optimisation avec contraintes égalités et inégalités sont différentiables, convexes ou localement lipschitziennes, la théorie a été faite. A notre connaissance, ce qui est nouveau c.est le cas où les données du problème sont semi-continues inférieurement. En conclusion, un problème ouvert est donné.

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