Etude Des Comportements Complexes Des Transformations Polynomiales Bidimensionnelles

Résumé: Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l’étude des systèmes dynamiques modélisés par des transformations ponctuelles bidimensionnelles et polynomiales T. Une notion très importante est introduite c’est l’inversibilité. Une transformation est inversible si tout point de l’espace de phase admet un antécédent unique. Le caractère de non inversibilité se traduit par le fait qu’il existe des zones notées Zi dans le plan de phases pour lesquelles, un point peut posséder zéro, un ou plusieurs antécédents de rang un. Ces différentes régions sont séparées par des singularités appelées Lignes Critiques (LC). Du point de vue de la transformation inverse, le plan de phase apparaît alors comme feuilleté. Chaque feuillet est associé à une détermination bien définie de T −1. Les Lignes Critiques constituent le lieu des points où les différents feuillets se joignent. Dans une première partie, on rappelle quelques propriétés des transformations ponc tuelles inversibles de type Hénon généralisées plus particulièrement aux cas conservatifs pour un difféomorphisme cubique et ensuite on procède à l’étude des bifurcations homo cline et hétérocline. Dans la deuxième partie, on procède à une classification des transformations non in versibles sur la base de différentes structures de la courbe LC, on les trace dans le plan de phase et dans le plan paramétrique. Une ligne critique correspond à une bifurcation fold pour une transformation T0 associée à T. On fait ensuite apparaître les changements qualitatifs de comportements de solutions par variation de paramètres de T, de type (Z1 − Z3 − Z1) en s’appuyant sur l’outil des Lignes Critiques et les courbes invariantes fermées. Ces bifurcations considérées concernent les ensembles invariants tels que les varié tés stables ou instables de points fixes ou cycles de type col, et leurs bassins d’attraction. Cette étude nous a permis de faire une généralisation de certains types d’endomorphismes.

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