Problèmes De Sturm-liouville Abstrait Pour Une Équation Différentielle Abstraite Compléte Elliptique Du Second Ordre Dans Divers Espaces
Résumé: Ce Travail est consacré à l'étude des problèmes de Sturm-Liouville gouvernés par des équations différentielles abstraites d'ordre deux de type elliptique.Le problème de Sturm-Liouville que l'on se propose d'étudier ici consiste en l'équation différentielle abstraite complète du second ordre u00(x) + 2Bu0(x) + Au(x) = f(x); x 2 (0; 1); sous les conditions aux limites abstraites hu0(0) .. Hu(0) = d0 ku0(1) + Ku(1) = d1; où A;B; h;H; k et K sont des opérateurs linéaires fermés dans un espace de Banach complèxe X. Ici, f est une fonction de (0; 1) à valeurs dans X et d0, d1 sont des éléments donnés dans X. Notre étude s'intéressera à l'existence, l'unicité et la régularité maximale de solutions de ce problème lorsque le second membre f appartient à l'une des deux classes d'espaces de Banach de géométrie différente Lp(0; 1;X) et C alpha([0; 1];X) avec 1 < p < infini , 0 < alpha < 1. Dans le premier cadre fonctionnel Lp(0; 1;X), lorsque l.espace de Banach X possède la propriété UMD et sous certaines hypothèses sur les opérateurs (ellipticité, commutativité,...), on démontrera de nouveaux résultats optimaux si et seulement si les données d0, d1 sont dans un espace d'interpolation bien précis. Les techniques utilisées reposent sur la classe dite BIP des opérateurs et essentiellement sur le célèbre Théorème de Dore et Venni.. Dans le deuxième cadre (compte tenu de la régularité höldérienne du second membre f), où l.espace de Banach X est quelconque, on prouvera aussi, sous les mêmes hypothèses que le cadre précédent, de nouveaux résultats optimaux si et seulement si les données d0, d1, f vérifient certaines conditions de compatibilité naturelles liées à l'équation elle-même. Ici, les techniques utilisées reposent sur la théorie des semi- groupes analytiques, sur la célèbre théorie des sommes d'opérateurs de Da Prato et Grisvard et principalement sur le travail de Sinestrari.
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