Problèmes D’edp Et De Géométrie. Etude De La Rigidité Par L’analyse Infinitésimale Entre Cartan Et Gromov.

Résumé: L’objet de cette thèse est l’étude de la rigidité des structures géométriques, une notion introduite par Misha Gromov en 1986, bien qu’elle existait avant mais sous d’autres formes. On s'intéresse particulièrement à une étude analytique des k-isométries des variétés munies d'une métrique riemannienne ou d'une métrique riemannienne "dégénérée". On commence par un bref aperçu sur le concept de rigidité suivi d'un historique retraçant globalement l'évolution de cette notion. On enchaine ensuite avec l’étude des G-structures au sens de Cartan, où on donne de manière rigoureuse deux formulations pour la définition de ce concept, ainsi que la définition d'une isométrie, d'une G-structure de type fini et d'une isométrie d'ordre k. Cette partie s’achève par l'étude des structures géométriques au sens de Gromov, quelques exemples sont donnés ainsi qu'une interprétation physique. La rigidité au sens de Gromov fait l'objet d'étude du troisième chapitre où le lien entre G-structures de type fini et G-structures rigides y est explicité. Les chapitres 4 et 5 sont une illustration de l'application de la notion de rigidité dans des cas pratiques, à savoir, les structures riemanniennes, les structures conformes, les structures sous-riemanniennes et les structures de lumière. Le dernier chapitre contient la vraie contribution de cette thèse, à savoir l’introduction d’une nouvelle notion de rigidité appelée sous-rigidité. Il y est démontré qu'une structure sous-riemannienne de contact est (4,1)-sous-rigide et qu'une structure de lumière transversalement conforme générique est (3,1) sous rigide.

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