Méthode Des Martingales Dans Les Problèmes De Files D'attente

Résumé: La théorie de les d'attente vise à fournir la méthodologie d'évaluation de performan e quantitative dans le adre de ertaines questions pratiques provenant de systèmes de ommuni ation et réseaux (débit, harge, temps de réponse...) et aussi une évaluation qualitative (stabilité, ergodi ité, omparabilité...). ?tant donné que les appro hes lassiques en théorie des les d'attente onduisent à des expressions omplexes ou ne s'appliquent pas pour des systèmes omplexes (multiserveurs), plusieurs méthodes d'évaluation ont été utilisées. Parmi les prin ipales appro hes introduites es dernières années, on trouve la méthode des martingales. Les martingales onstituent une lasse très importante de pro essus sto- hastiques pour laquelle les propriétés sont basées sur elles de l'espéran e mathématique onditionnelle. L'interprétation de e pro essus sto hastique est intéressante. En e et la valeur d'une martingale peut hanger ; ependant, ses espéran es restent onstantes dans le temps. Plus important, l'espéran e d'une martingale n'est pas a e tée par l'é hantillonnage aléatoire (optional sampling). A l'aide des martingales, on peut formuler des énon és généraux très forts, et souvent intuitivement surprenants. Outre leur intérêt d'un point de vue purement mathématique, elles ont des appli ations lés en probabilités appliquées, en parti ulier les résultats de onvergen e des martingales et le théorème d'arrêt qui peuvent être appliqués une fois une martingale appropriée a été trouvée. L'avantage de ette appro he est de permettre de formuler et d'analyser des problèmes plus généraux, en étudiant une extension plus large, que les méthodes traditionnelles. Dans ette thèse, nous étudions l'appli ation de es méthodes à quelques modèles de systèmes de les d'attente. Dans un premier temps, nous présentons une nouvelle appro he basée sur la théorie des martingales pour analyser le système M/G/1 ave rappels. En utilisant l'équation ré ursive du pro essus induit aux instants de départ de e système, nous avons onstruit une martingale arrêtée au premier instant où le système redevient vide. Nous avons obtenu le résultat de stabilité de e système et le nombre moyen de lients dans le système. 4 Dans un deuxième temps, nous utilisons la dé omposition de Doob-Meyer des semi martingales pour analyser un système multiserveur non-markovien ave pertes. Tout d'abord, nous onsidérons le problème général où les pro- essus d'arrivées et de départs sont des pro essus pon tuels. Nous obtenons les équations de la distribution du nombre de lients dans le système. Ensuite nous onsidérons le as où le pro essus pon tuel est un pro essus de Poisson homogène et non-homogène. Nous omplétons notre travail par des exemples numériques illustrant la manière dont des prati iens pourraient exploiter es résultats du point de vue d'aide à la dé ision : nombre minimal de serveurs pour garantir une probabilité de perte (refus) inférieure à un seuil ? xé.

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