Etude De L'existence Et De L'absence De Solutions D’une Classe D'équations Et De Systèmes Elliptiques Non Linéaires Dans Des Domaines De Rn

Résumé: Nous étudions dans cette thèse, différents problèmes d'équations aux dérivées partielles dont la majeure partie concerne des systèmes de type elliptique, mais nous montrons l'absence de solutions non triviales pour une classe de systèmes de type hyperbolique. Elle est constituée de chapitres pouvant être lus indépendamment les uns des autres. Il nous a semblé utile d'entamer ce mémoire par un chapitre consacré aux rappels sur les espaces fonctionnels (espaces L^{p}, espaces de Sobolev), sur le degré topologique (de Brouwer et de Leray-Schauder) ainsi que les principaux outils dont nous faisons un usage fréquent dans les autres chapitres. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons à une classe de systèmes elliptiques singuliers qui modélisent entre autre des phénomènes biologiques tels que l'embryogenèse. Il s'agit du modèle proposé par Gierer et Meinhardt pour lequel nous montrons l'existence d'une unique solution dans l'espace RN. L'approche utilisée est basée essentiellement sur le théorème du point fixe de Schauder. Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons à l'étude d'une classe de systèmes elliptique semi-linéaires où les non linéarités vérifient une condition de non résonance à l'infini. Nous obtenons le résultat d'existence de solutions via la méthode topologique. Dans le quatrième et dernier chapitre, nous abordons la question de non existence de solutions non triviales dans un domaine cylindrique non borné, non seulement pour une classe de systèmes elliptiques, mais aussi pour une classe de systèmes hyperboliques. Notre démonstration est basée sur des identités intégrales de type Pohozaev.

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