Le Principe D’action De Schwinger Via Les Transformations Canoniques Lineaires

Résumé: Feynman et Schwinger ont formulé, indépendamment l’un de l'autre, un principe d'action conforme à la mécanique quantique; le premier est fonctionnel tandis que le deuxième est opératoriel. La méthode de Feynman, dite intégrales de chemins, a été appliquée dans de divers domaines physiques et elle est devenue un outil de calcul très efficace. En outre, la méthode de Schwinger était rarement utilisée, bien qu’elle donne l'opportunité de trouver des fonctions de transformation (propagateurs) pour des problèmes plus compliqués avec plus de précision et de rigueur. La difficulté majeure dans l’application de la méthode de Schwinger réside dans la résolution des équations d’Heisenberg de mouvement qui sont des équations opératorielles. Pour surmonter cette difficulté, nous avons constaté que les transformations canoniques sont, en général, des outils appropriés pour transformer des problèmes complexes en systèmes simples. L’étude que nous présentons dans cette thèse est une tentative réussie de développer une technique opératorielle quantique pure qui se base sur la méthode de Schwinger via les transformations canoniques, afin d’évaluer exactement les fonctions de transformation des systèmes quadratiques généralisés 1D et 3D dépendants du temps, ce qui nous permet d’éviter la résolution des équations d’Heisenberg. Dans une première étape où nous avons réussi à faire une généralisation de la méthode de Schwinger par le biais des transformations canoniques linéaires, nous avons évalué facilement et exactement la fonction de transformation pour le système quadratique général 1D dépendant du temps, ce qui était difficile voir même impossible de réaliser. Dans le cas d’hamiltoniens sans termes linéaires nous devions juste résoudre une équation différentielle homogène du deuxième ordre afin de choisir la transformation canonique appropriée pour éliminer les termes quadratiques de l’hamiltonien. L’addition des termes linéaires dans l’hamiltonien quadratique nécessite la résolution de deux équations différentielles supplémentaires pour pouvoir supprimer ces termes. Dans les deux cas, le nouvel hamiltonien du système étudié contient uniquement un terme cinétique, ce qui simplifie considérablement Résumé vi l’évaluation de la fonction de transformation du système linéaire général recouvrant ainsi tous les cas particuliers des systèmes quadratiques 1D. Les cas particuliers de l’oscillateur harmonique, l'oscillateur harmonique avec une fréquence qui dépend du temps, l'oscillateur harmonique avec une masse et une fréquence qui dépendent du temps, l'oscillateur harmonique amorti, l'oscillateur harmonique amorti forcé et l'oscillateur de Calidora-Kanai ont été facilement évalués où les résultats obtenus étaient en parfait accord avec ceux obtenus par d’autres méthodes. Dans la deuxième étape de l’étude, nous avons généralisé le résultat obtenu dans le cas 1D au cas 3D des systèmes quadratiques généraux dépendants du temps ayant des couplages hybrides (entre le vecteur position et le vecteur impulsion) avec des termes linéaires, afin de déterminer exactement les fonctions de transformations. Nous avons ajouté aux transformations linéaires qui étaient translatives dans le cas 1D, des matrices de rotation, pour résoudre le problème de couplage hybride dû au moment angulaire, ce qui a permis de transformer l’étude du système en celle d’une particule libre à trois dimensions par la diagonalisation de toutes les matrices liées aux termes quadratiques du système étudié. Trois types de systèmes ont été traités : 1. Un système à trois couplages hybrides anisotropes. 2. Un système avec un seul couplage hybride variable. Les résultats obtenus pour une particule chargée soumise à un champ magnétique constant et une particule chargée soumise à un potentiel vecteur constant et à un potentiel scalaire constant , ont montré un parfait accord avec la méthode des intégrales de chemins. 3. Un système anisotrope sans termes de couplage. L’avantage de cette technique réside dans la possibilité d’avoir directement de

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