Sur Le Produit Tensoriel Entre Espaces De Banach

Résumé: oient X; Y deux espaces de Banach. On dé nit le produit tensoriel algébrique X Y de X et Y comme étant l espace vectoriel engendré par les tenseurs d ordre 1 x y où x y peut être vu comme une forme linéaire sur l espace des formes bilinéaires L(X Y ;K) telle que x y(T) = T(x; y); pour tout T 2 L(X Y ;K). Un autre regard peut être donné à cet élément x y: Il s agit d une forme bilinéaire sur l espace X Y , en e¤et soit (x ; y ) 2 X Y alors x y (x ; y ) = x (x) y (y) : Sur l espace vectoriel X Y , on peut toujours dé nir des normes, s appellent normes tensorielles, qui lui font un espace de Banach. Historiquement, Grothendieck en 1956 a dé ni plusieurs normes tensorielles en montrant que toutes ces normes véri ent l inégalité suivante " où " est la norme tensorielle injective (la plus petite norme tensorielle) et est la norme tensorielle projective (la plus grande norme tensorielle). Depuis sa célèbre monographie, beaucoup de chercheurs sont intéressés au produit tensoriel des espaces de Banach ainsi que aux normes tensorielles que nous pouvons munir cet espace. Partons de la représenta- tion suivante, on comprend l importance du produit tensoriel : si nous avons un idéal des opérateurs linéaire I(X; Y ) on s intéresse parfois de le représenter en utilisant le produit tensoriel, autrement dit on cherche une norme tensorielle telle l espace X Y muni de cette norme véri e I(X; Y ) = X Y: Donc le produit tensoriel joue un rôle important dans la représentation des idéaux d opé- rateurs linéaires. Même étude peut être considérer pour d autre classes d opérateurs à 4 savoir les opérateurs multilinéaires et les polynômes homogène de degré m. Dans ce mé- moire de Master option analyse fonctionnelle, on va faire une étude approfondie sur le produit tensoriel des espaces de Banach. Le présent mémoire s articule autour de trois chapitre. Dans le premier chapitre on discutera la structure vectorielle du produit tensoriel de deux espaces de Banach. La relation entre un opérateur bilinéaire et sa linéarisation sera l objet d une partie considérable de ce chapitre. En fait, certains auteurs déclarent que le but principal d étudier le produit tensoriel des espaces de Banach est de linéariser les opérateurs bilinéaires, c est dire on identi er l espace des opérateurs bilinéaires à un espace d opérateurs linéaires dé nies sur le produit tensoriel. Le deuxième chapitre a pour but d étudier le produit tensoriel projective. On va munir l espace X Y de la norme suivante (u) = inf ( Xn i=1 kxik kyik ) ; où l in mum est porté sur toutes les répresentations possibles de u: Certaines propriétés importantes seront dévoilées au cours de ce chapitre. Citons par exemple la coïncidence entre l espace des formes bilinéaires avec le dual du produit tensoriel projective dont on fera intervenir les opérateurs linéarisés pour établir cette identi cation. Le troisième chapitre est consacré à étudier le produit tensoriel injective, c est l espace vectoriel X Y muni de la norme suivante " (u) = sup ( Xn i=1 x (xi) y (yi) : x 2 X ; y 2 Y ) ; où le supremum est porté sur toutes les répresentations possibles de u: Cette norme est la plus petite norme tensorielle. De plus, le dual de l espace X Y muni de cette norme coïncide avec l espace des opérateurs linéaires intégraux.

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