Quelques Critères De Régularité Et Auto-similarité Des Solutions Faibles Pour Les Équations De La Mhd

Résumé: L'objet du travail de cette thèse est de déterminer des conditions suffisantes de régularité (les solutions doivent être suffisamment différentiables, au moins pour que l'équation ait un sens) des solutions faibles des équations de la MHD résistive (couplant les équations de Navier Stokes incompressibles avec les équations de convection-diffusion sur le champ magnétique) dans l'espace entier R3, ainsi qu'une analyse des solutions auto-similaires de ces équations. Une immense littérature est consacrée à la MHD. Cette littérature trouve son origine dans l'article de G. Duvaut et J. L. Lions publié en 1972 (voir aussi M. Sermange et R. Temam), où les auteurs ont introduit une classe particulière de solutions faibles qui vérifient l'inégalité d'énergie et qui ont donc un intérêt particulier d'un point de vue physique. Dans un chapitre introductif, on rappelle les propriétés des espaces fonctionnels utilisés dans ses travaux, tels que les espaces de Besov d'indices négatifs, utilisés en particulier dans le contexte des espaces invariants par changement d'échelle pour les équations de la MHD. Les espaces BMO et Hardy et leurs propriétés sont également décrits, ainsi que les interpolations utilisées au cours de la thèse. Les travaux décrits dans le second chapitre consistent à généraliser à la MHD résistive les critères de régularité de type Serrin valables pour les équations de Navier-Stokes, portant sur une des dérivées de la pression. Les résultats antérieurs concernant les conditions suffisantes de régularité des solutions faibles à la Leray des solutions de la MHD incompressible et des équations de Navier-Stokes incompressibles en 3D sont très soigneusement cités. Le résultat principal obtenu contient en particulier le résultat de Navier-Stokes. Une variante de ce résultat est obtenue dans le Théorème 2, qui énonce une condition suffisante des solutions faibles de la MHD similaire à la condition précédente, dans laquelle la norme sur b est remplacée par la norme sur la pression. Dans le troisième chapitre, on a établi des critères de régularité des solutions faibles exprimés en termes de rotation et de courant électrique, en étendant les résultats antérieurs de Gala restreints au cas b=0. Il s'agit précisément de montrer que les solutions faibles à la Leray de la MHD incompressible sont régulières sous certaines hypothèses. Dans le Théorème 3, une autre condition suffisante de régularité est montrée, portant sur des conditions de type L¹(0,T;BMO) sur les gradients de u et b. La quatrième partie de la thèse consiste à étudier les solutions auto-similaires de la MHD résistive incompressible. Il s'agit de montrer qu'il n'existe qu'une seule solution auto-similaire triviale dans les espaces de Morrey-Campanato sous une hypothèse de petitesse de l'énergie cinétique. Ces résultats, qui reposent sur des inégalités d'interpolation très fines, complètent ainsi les résultats de He et Xin, en substituant les hypothèses utilisées par ces auteurs par une condition plus physique de petitesse sur l'énergie cinétique.

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