Espaces Métriques

Résumé: Ce mémoire de la deuxième année Master de Mathématiques que j’ai le privilège de diriger depuis l’année universitaire 2021-2022 `a l’Université´e Amar Thelidji Laghouat. Il est compos´e de 5 chapitres, j ’ai commencé mon mémoire en introduisant en même temps les espaces métriques et les espaces topologiques ; ce qui a pour objectif de transmettre au lecteur l’idée intuitive de la construction axiomatique des espaces topologiques. Cette idée est d’ailleurs avancée dans l’introduction avant sa réalisation au mémoire Ci-dessous sont d´écrits brièvement les contenus des chapitres : Au 1er chapitre, nous étudions quelques notions de base de Topologie générale comme intérieur,l’ouvert, voisinage, topologie induite etc.Expliciter la topologie associée `a une distance. Au le 2émé chapitre, nous abordons les espaces compacts. La définition générale de ces espaces très importants est abstraite ; elle se sert de la propriété dite de Borel-Lebesgue qui, intuitivement, est difficile `a cerner. Cependant, c’est elle la clef de démonstration d’un grand nombre de théorèmes fondamentaux sur la compacité. Lorsqu’on s e restreint aux espaces métriques, d’autres caractérisations plus cernables de la compacité sont possibles ; parmi celles-ci, on donne la caractérisation de Bolzano-Weierstrass (un espace métrique X est compact ssi toute suite de X possède une sous-suite convergente) et la caractérisation utilisant la notion d’espace métrique totalement borné (un espace métrique X est compact si et seulement s’il est complet et totalement borné). Il est très important de souligner que la compacité est une propriété intrinsèque (i.e., une partie compacte d’un espace topologique X reste com-pacte par rapport `a n’importe quel autre sous-espace topologique de X qui la contient, et vice versa). Nous verrons par suite quelques théorèmes fondamentaux liant la compacité `a la continuité. Parmi ceux l`a, le théorème selon lequel ≪la compacité s e conserve par une application continue ≫et les deux théorèmes de Heine, déja vus en 1`ère année dans le cas particulier correspondant `a R. On termine le chapitre en question par le théorème de Tychonov selon lequel ≪tout produit d’espaces topologiques compacts est compact ≫. Cet important théorème, dont la démonstration f ait appel `a des arguments tr`es raffinés de la théorie des ensembles, sera démontré uniquement dans son cas “facile” ou` le produit en question est fini. Quant aux espaces localement compacts, nous nous contentons de donner juste leur définition !.

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