Etude Non-classique De Quelques In Egalit Es Faisant Intervenir La Fonction D'euler '

Résumé: Le cadre de ce travail revient au th eorie IST (Internal Set Theory, voir [35]). En vue de [5], rapplons la d e nition suivante: On dit que les r eels i du syst eme ( 1; 2; : : : ; k) avec k 1 sont simultan ement approximables au sens in nit esimal, si pour tout nombre r eel in niment petit positif ", il existe des rationnels pi q i=1;2;:::;k tels que 8< : i = pi q + "$i "q = 0 ; i = 1; 2; : : : k; o u ($i)i=1;2;:::;k sont des nombres limit es. Soit ( 0; 1; : : : ; !) un syst eme de r eels, avec ! illimit e. Dans le premier chapitre, nous allons donner une condition n ecessaire pour que ( i)i=0;1;:::;! soient simultan ement approximable au sens in nit esimale. L'inverse de cette condition est egalement discut e. Soient k un entier positif et Wk l'ensemble des entiers positifs n dont le nombre des facteurs premiers distincts de n est sup erieur ou egal a k. Dans le deuxi eme chapitre, certaines in egalit es qui font intervenir plusieurs fonctions arithm etiques sont etudi ees sur Wk. Dans le troisi eme chapitre, nous allons d eterminer une fonction arithm etique f pour laquelle l'expression fN(n) 􀀀 fN(n + `) a une in nit e de changement de signe sur un sous-ensemble propre in ni de Wk, o u , N et ` sont des param etres. Ce r esultat sera r ealis e en utilisant le th eor eme de Dirichlet concernant les nombres premiers dans un progression arithm etique. Dans le quatri eme chapitre, certains probl emes ouverts se posent pour d'autres recherches.

Publié dans la revue: