The K-nearest Neighbors Estimation Of The Condional Mode For Functional Data.

Résumé: Au cours des dernières décennies, la branche de la statistique consacrée a l’étude de variables fonctionnelles a connu un réel essor tant en terme de développements théoriques que de diversification des domaines d’application. Nous nous intéresserons plus particulièrement dans cette thèse a l’ estimation non paramétrique du mode conditionnel par la méthode des k-plus proches voisins dans lesquels la variable réponse est réelle tandis que la variable explicative est fonctionnelle, c’est à dire à valeurs dans un espace de dimension infinie. L’estimation non-paramétrique par la méthode des k-plus proches voisins, appelée communément k-pp offre la particularité d’être relativement insensible aux larges déviations dues à quelques observations de valeurs atypiques. Dans ce cadre, on se propose dans cette thèse d’étudier l’estimation du mode conditionnel par la méthode des k-pp dans le cas où les observations sont de nature fonctionnelle. Plus précisément, le problème le plus connu, consiste à étudier la relation entre deux variables, afin de prédire l’une d’ elles (la variable réponse) en fonction de l’autre (la variable explicative). En effet, on suppose que nous disposons d’une variable aléatoire réelle notée Y, et d’une variable fonctionnelle notée X. Le modèle non paramétrique utilise pour étudier le lien entre X et Y concerne la distribution conditionnelle dont la fonction de densité note f, est supposé appartenir à un espace fonctionnel approprie. Notre étude porte sur des données indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.) ainsi que sur des données fortement mélangeantes. Dans un premier temps, nous considérons une suite d’observations i.i.d. Dans ce contexte, nous construisons un estimateur par la méthode des k-pp pour la fonction densité conditionnelle. Nous établissons la vitesse de convergence presque complète ainsi que la normalité asymptotique de cet estimateur. Dans un second temps, nous supposons que les observations sont fortement mélangeantes, et nous étudierons la normalité asymptotique de cet estimateur, en donnant l’expression de sa vitesse de convergence presque complète. Notre étude met en évidence le phénomène de concentration de la mesure de probabilité de la variable fonctionnelle sur des petites boules. Cette propriété de concentration permet de contourner le problème du fléau de la dimension ainsi que la non existence d’une densité de probabilité et elle est moins restrictive que la stricte positivité de la densité de probabilité en dimension finie. La prévision en statistique paramétrique ou non paramétrique est l’une des questions les plus cruciales auxquelles les statisticiens ne cessent de proposer des solutions dans différents contextes. Dans le contexte non paramétrique, il est à noter que le modèle de régression usuel ne répond pas dans certaines situations aux problèmes de prévision, comme dans le cas de densité conditionnelle dissymétrique, ou, dans le cas où la densité représente plusieurs pics dont l’un d’eux est très important. Le mode conditionnel par la méthode des des k-pp est une alternative pour répondre au problème mentionne. Cette thèse s’inscrit dans la continuité des travaux existants en dimension infinie et développe aussi bien des aspects pratiques que théoriques. Nos résultats sont appliques à des données réelles de type spectrométrique ainsi que sur des données liées à l’étude du courant marin El Nino.

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