Probl`eme De Contrˆole Optimal Dans Un Espace De Hilbert
Résumé: Ce mémoire est constitué de trois chapitres. Dans le premier, nous rappelons quelques notions, définitions et théorémes que nous avons utilis´es dans la démonstration de certaines propositions et théorémes necessaires. Dans le deuxi`eme chapitre, nous donnons un r´esultat d’existence de la solution pour une ´equation diff´erentielle du premier ordre de la forme : 2 (P2) x˙(t) = Ax(t) + f(t, u(t)) x(0) = v, ou` A est le g´en´erateur infinit´esimal d’un semi groupe uniform´ement continue avec H et U sont des espace de Hilbert et f : [0, T] × U → H une application. Apr`es nous d´emontrons quelques propri´et´es de la solution du probl`eme (P2). Dans le troisi`eme chapitre, nous d´efinissons un probl`eme bien pos´e, puis nous ´etudions la convexit´e et la Gˆateaux diff´erentiabilit´e de la fonction quadratique : J˜ z ∗ = R T 0 [< x − y ∗ , P(x − y ∗ ) >H + < u − w ∗ , Q(u − w ∗ ) >U (t)dt]+ < x(T) − ψ ∗ , E(x(T) − ψ ∗ ) >H . et z ∗ = (y ∗ , w∗ , ψ∗ ) ∈ Z = L 2 (H) × L 2 (U) × H, et P, Q, et E sont des op´erateurs . Dans la derni`ere partie, nous ´etudions l’´equivalence entre le probléme bien-pos´e et l’affinit´e de la l’application f par rapport `a la variable controle.
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