Les Propriétés Minimales Des Inverses Généralisés

Résumé: Résoudre une équation matricielle est l’un des problèmes principaux du calcul matriciel. Si l’équation matricielle est non consistente nous essayons de trouver sa solution approchèe d’après deux outils bien connus pour mesurer l’optimisation de cette solution qui sont : la solution à moindres carrées et la solution à rang minimal. Le concept de la solution à rang minimal a été proposé d’abord par Yongge Tian en étudiant le rang minimal de l’expression matricielle linéaire C- AXB. L’équation AXB = C est l’une des équations matricielles les plus connues dans la théorie des matrices et ses applications. Pour cette importance, nous étudions cette équation dans de nombreux cas. En premier lieu, nous étudions la solution commune à rang minimal des équations A1XB1 = C1 et A2XB2 = C2, et nous donnons l’expression de cette solution, aussi nous donnons des conditions pour que l’équation AXB = C aie une solution hermitienne à rang minimal. En plus, nous donnons l’expression de cette solution hermitienne. En deuxième lieu, nous donnons des conditions d’existence d’une solution hermitienne définie (positive, négative, nonpositive, nonnégative) à rang minimal de l’équation matricielle AXB = C. Finalement, nous nous intéressons à l’équation matricielle AXA* = B, où nous donnons des conditions d’existence de la solution hermitienne commune définie (positive, négative, nonpositive, nonnégative) à rang minimal du la paire d’équations A1XA 1* = B1 et A2XA 2* = B2.

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