Approximation Potynomiale-fonctions Splines

Résumé: L approximation d une fonction f (connue ou non) par un polynôme est une démarche naturelle que l on rencontre dans divers contexte en analyse : lorsque f est assez régulière, elle permet d analyser le comportement local (développement de Taylor) mais aussi dans certain cas d approcher globalement ou par morceaux la fonction par un polynôme d interpolation (par exemple). Dans ces deux situations la précision avec laquelle on peut approcher f par un polynôme dépend de la régularité de la fonction. A l inverse, avec une hypothèse de régularité relativement faible, le théorème de Weierstrass nous assure que l on peut approcher uniformément toute fonction continue sur un intervalle compact, d aussi presque l on veut, par un polynôme. Dans ce travail, on a traité le problème dans les deux sens pratique et théorique ; on a com-mencé avec l interpolation polynomiale où nous considérons les questions d existence, d unicité et même la procédure de calcul le polynôme interpolant f: Le théorème de Weierstrass nous amène a chercher théoriquement un certain polynôme qui nous donne une meilleure approximation c.est à dire avec une différence d erreur assez petite avec la norme de la convergence uniforme et de la norme quadratique ; pour cette raison on a définie la projection orthogonale dans un espace préhilbertien sur un espace de dimension fini, alors que l interpolation est une projection seulement linéaire sur l espace des polynômes. Pratiquement, on a vu que la théorie d approximation (respectivement d interpolation) est entièrement liée au dimension de l espace où on fait l approximation (X = Pndans notre cas) et par suite avec des système d équation linaires. On a commencé par un système où la matrice est pleine avec un déterminant de Vandermonde (Lagrange), puis un système triangulaire inferieure (Newton) et finalement avec une matrice tridiagonale.

Publié dans la revue: