La Mécanique Analytique Avec Les Variables De Grassmann.

Résumé: Dans ce mémoire, nous avons étudié la mécanique analytique dans les algèbres de Grassmann dans le but de développer une théorie consistante avec des variables qui anti-commutent, afin aborder les systèmes physiques décrits par des lagrangiens pseudo-classiques. A cet effet, nous avons d'abord construit le formalisme de la pseudo-mécanique qu'est la mécanique d'un système pseudo-classique décrit par les variables canoniques ordinaires et par les variables de Grassmann. Cette mécanique nous a permis de trouver une méthode puissante pour l'étude des systèmes Fermioniques et de leur donner une description classique, car à la limite, les systèmes de Fermions ont un caractère purement quantique et ne possèdent pas de correspondants classiques. En effet, l'utilisation de l'algèbre de Grassmann pour faire de la mécanique analytique nous a permis d'obtenir les crochets de Poisson entre les différentes variables physiques et de les transformer en relations de commutation et d'anti- commutation dans le domaine quantique, ce qui est une généralisation de la quantification canonique aux systèmes pseudo-classiques. Les opérateurs bosoniques vérifient des relations de commutation entre eux et avec les opérateurs fermioniques, tandis que ces derniers obéissent à des relations d'anti-commutation entre eux. La version quantifiée de la pseudo-mécanique n'est rien d'autre que la théorie quantique ordinaire. Enfin, nous mentionnons que moyennant ces systèmes pseudo-classiques nous avons la possibilité de décrire le spin à un niveau pseudo-classique, d'ailleurs, c'est la motivation initiale de ce travail. Nous avons pu aussi retrouver l'oscillateur harmonique fermionique en partant d'un lagrangien pseudo-classique. Dans une dernière application, nous avons démontré que l'équation de Pauli décrivant une particule ayant un spin ½ se déplaçant dans l'espace et le temps, peut être obtenue en commençant par un lagrangien pseudo-classique, réel et pair, contenant des variables ordinaires et des variables de Grassmann. Ce travail nous a montré aussi que la limite classique ? ? ? 0 ? de la théorie quantique avec les opérateurs de Fermi est la pseudo-mécanique. L'intérêt de ce résultat est qu'il n'y plus de distinction formelle entre le cas classique et pseudo- classique, nous avons toujours une formulation classique et quantique. Donc nous avons pu constater que cette théorie unifie les variables qui commutent et qui anti-commutent, afin d'étudier les fermions et les bosons d'une manière symétrique.

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