Sur Les Opérateurs Multilinéaires Cohen P-nucléaires

Résumé: Un idéal des opérateurs multilinéaires (ou multi-idéal) M est une classe d’opérateurs multilinéaires bornés tels que pour tout X1; :::; Xm et Y des espaces de Banach on a : M(X1; :::; Xm; Y ) est un sous espace de L(X1; :::; Xm; Y ) qui est invariant par rapport à la composition d’un opérateur linéaire à gauche et m opérateurs linéaires à droite et qui contient les opérateurs de rang …nis [Pie83]. Dans certains idéaux multilinéaires, la généralisation est élémentaire. C’est le cas des opérateurs m-linéaires faiblement compacts, ou complètement continus, des opérateurs intégraux et nucléaires, des opérateurs de Hilbert-Schmidt et Cohen fortement p-sommants. La propriété véri…ée dans le cas linéaire reste la même dans le cas multilinéaire. En revanche, dans le cas des opérateurs p-sommants, la généralisation n’est pas unique ; de nombreuse dé…nitions ont été introduites dans ce sens et de nombreux articles ont été consacrés à la notion de sommabilité pour les opérateurs multilinéaires. L’idéal Nm p des opérateurs m-linéaires Cohen p-nucléaires entre les espaces de Banach sont dé…nies par Achour et Alouani dans [AA10] comme une extension naturelle multilinéaire de l’idéal classique des opérateurs p-nucléaires [Coh73]. Ce multi-idéal ont beaucoup de bonnes propriétés. On fera une étude approfondie de cette classe d’opérateurs. On montrera qu’elle conserve la plupart des propriétés du cas linéaire et qu’elle possède de bonnes propriétés d’idéal. Grâce au théorème de Pietsch, on montrera que l’opérateur multilinéaire T est Cohen p-nucléaires si et seulement si il existe un opérateur m-linéaire Cohen fortement p-sommant S; et des opérateurs linéaires p-sommants uj tels que T s’écrit comme suit T = S (u1; :::; um) : Cela généralise le théorème de factorisation de Kwapie´n pour les opérateurs linéaires p-nucléaires. Notre travail est organisé comme suit : 2Dans le premier chapitre, nous rappelons les résultats importants et les dé…nitions à utiliser plus tard. On introduit les applications multilinéaires avec quelques propriétés fondamentales. Puis on dé…nit l’idéal multilinéaire. En …n on donne des exemples très intéressent, qui sont les opérateurs Cohen fortement p-sommants [AM07] et les opérateurs p-semi-intégrales [ÇP07]. Dans le deuxième chapitre. Nous montrons que l’espace des opérateurs m-linéaires Cohen p-nucléaires (1 p < 1) est un Banach multi-idéal. On démontre l’analogue du théorème de Domination de Pietsch, ce qui permet de représenter cet espace comme composition de l’espace Dpm avec les espaces des opérateurs linéaires p-sommants. Cela généralise le théorème de factorisation de Kwapie´n pour les opérateurs linéaires (p; p ) dominés. Nous exposerons dans le dernier chapitre, quelques notions des opérateurs multilinéaires sommants. On essaye d’étudier la relation entre la classe des opérateurs Cohen p-nucléaires et les di¤érents dé…nitions de sommabilité. Comme conséquence nous montrons qu’en général tout opérateur m-linéaire Cohen p-nucléaire est faiblement compact.

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