Synchronisation Impulsive De Deux Systèmes Chaotiques De Colpitts

Résumé: La recherche mathématique à propos du chaos remonte à 1890, époque à laquelle Henri Poincaré étudie la stabilité du système solaire. En 1970, David Ruelle et Floris Takens commencent à utiliser le concept du chaos pour décrire les phénomènes naturels. Depuis, le nombre de travaux relatifs aux chaos a littéralement explosé. Les scientifiques de toutes les disciplines prennent aujourd’hui conscience de la puissance des techniques développées durant cette période pour apprivoiser le chaos. Ils commencent à appliquer ces techniques à un nombre de plus en plus important de problèmes concernant la physique, la chimie, l’écologie et même l’économie. Mais, du désordre, la raison ne peut rien tirer. Lorsque les mathématiciens se sont intéressés au chaos, c’était pour tenter d’y trouver de l’ordre, et ils y sont parvenus ! Créer de l’ordre, voilà bien une des activités principales des mathématiques. La théorie du chaos est une discipline à part entière basée sur la théorie des systèmes dynamiques. Le chaos résulte d’une instabilité des trajectoires décrivant la dynamique du système considéré dans son espace des phases. Avant la découverte et l’appellation du chaos, celui-ci était inévitablement confus avec l’aspect aléatoire et le déterminisme. Le comportement chaotique est donc un type de mouvement imprévisible produit par des équations non linéaires déterministes (équations différentielles ou équations aux différences). Les systèmes chaotiques sont caractérisés par un comportement imprévisible à long terme : ceci est dû à une extrême sensibilité aux conditions initiales, plus connue dans le langage courant sous l’appellation « effet papillon ». D’où la question suivante, longtemps restée sans objet : peut on forcer deux systèmes chaotiques à suivre la même trajectoire ? La réponse est oui, même si cela pouvait sembler improbable avant 1990. En effet, même si un système chaotique génère un attracteur remarquable dans l’espace d’état, l’incertitude sur la position exacte du système, à un instant donnée, sur l’attracteur, croit de façon exponentielle avec le temps. Ainsi une très petite incertitude sur les conditions initiales se propage et s’amplifie. Les exposants de lyapunov, définis dans le premier chapitre I quantifient la vitesse à laquelle cette incertitude augmente. Malgré cette caractéristique qui pourrait sembler incompatible avec la définition même de synchronisation, Pecora et Carroll ont démontré dans leur article fondateur [18] que les systèmes chaotiques ont, sous certaines conditions, la propriété de se synchroniser. Par la suite, plusieurs méthodes de synchronisations ont été 2 découvertes. On peut citer : la méthode impulsive, la méthode par l’approche de système inverse, méthode par observateur, etc. Depuis les résultats de Pecora et Caroll. L'idée de la transmission sécurisée par la synchronisation de systèmes chaotiques, qui consiste l'utilisation du phénomène du chaos pour transmettre messages sécurisés. Ceci en transmettant au récepteur un signal chaotique sommaire, produit par l'émetteur, ce signal en question contient comme information le message confidentiel. Enfin, ce message peut être recouvré en synchronisant le récepteur avec le signal envoyé par l'émetteur. Dans la théorie de l'observation, le récepteur est un observateur, qui est une copie du modèle dynamique de l'émetteur plus un terme de correction. De nombreux schémas de transmission ont été proposés par le passé : méthode par additions, par inclusion, par commutation. Dans ce mémoire de fin d’études, notre objectif consiste à la synchronisation impulsive de deux systèmes chaotiques continus qui sont l’oscillateur Colpitts. Le présent mémoire est structuré en trois chapitres. - Le premier chapitre est une introduction à la théorie du chaos et les différents outils utilisés pour analyser de tels systèmes. - Le deuxième chapitre introduit en premier point les différentes méthodes de synchronisation des systèmes chaotiques : méthode de Pecora et Carroll (identique), synchronisation par couplage (unidirectionnel, bidirectionnel), par inversion du système, synchronisation à l’aide d’un observateur et la synchronisation impulsive. Le deuxième point montre l’utilité du chaos dans les systèmes de télécommunication, et présente les différentes techniques de cryptage/décryptage de l’information par le chaos. - Le dernier chapitre consiste à l’étude de la synchronisation impulsive de deux systèmes chaotiques. Ici nous présentons quelques résultats de simulation réalisées sous Matlab afin d’illustrer les performances de la méthode proposée. Enfin, nous terminons par une conclusion générale et quelques perspectives.

Publié dans la revue: