Sur Le Théorème De Fuglede - Putnam

Résumé: Dans ce mémoire on s'intéresse au théorème classique et très important dans les équations à opérateurs à savoir le théorème de Fuglede-Putnam. Ce théorème de Fuglede fut établit en 1950 par B. FugledeThéorème Soient A et N deux opérateurs bornés sur un Hilbert tels que : AN = NA, Ou N est normal. Alors : AN*_= N*A.Puis en 1951 C.R Putnam a fait la généralisation au cas de deux opérateurs normaux i-e ; Théorème Soient A, M, N trois opérateurs bornés sur un Hilbert , avec N,M normaux et A = AN Alors M*A = AN*On remarque que les théorèmes originaux étaient démontrés pour deux opérateurs N, M pas nécessairement bornés, dans un tel cas on remplace donc " = " par " ?" En 1958 M.Rosenblum a donné une preuve simple et ´elégante en se basant sur le théorème de Liouville , Berberian a remarqué par une astuce de matrices d'opérateurs que les versions de Fuglede et de Putnam sont équivalentes (pour plus de détail voir le chapitre 4) . Radjavi-Rosenthal et très récemment [11] ont proposé d'autres preuves. Ce théorème est devenu un classique dans la théorie des opérateurs bornés et non-bornés grâce à ces diverses et importantes applications. Il existe plusieurs versions de ce théorème pour les opérateurs "subnormaux, hyponormaux, dominants, log-hyponormaux ....etc" mais on va se contenter dans ce mémoire aux versions classiques (bornée et non-bornée) pour les opérateurs normaux.Ce mémoire est répartit en quatre chapitres . Le premier étant la présente introduction .Le chapitre 2 constitue un rappel élémentaire sur les définitions et les résultats de base sur les espaces de Hilbert et les opérateurs linéaires bornés. On y trouve , entre autres, le théorème spectral des opérateurs bornés normaux.Le chapitre 3, est consacré , quant ´a lui , aux opérateurs linéaires non-bornés sur un Hilbert .Il est entamé par les définitions et les propriétés élémentaires .Ensuite la fameuse notion d'adjoint est introduite ainsi que la notion du spectre .Le chapitre est clôturé par la version non- bornée du théorème spectral des opérateurs normaux. Elle présentée sans démonstration (voir [3] pour la preuve)Dans le dernier chapitre "qui constitue l'objet de ce mémoire " on trouve le théorème de Fuglede-Putnam dans sa version classique . Quelques applications importantes sont données. Ensuite, la version non-bornée est présentée avec la preuve de Rosenblum . Finalement, deux autres versions très récentes (voir [7]) ou tous les opérateurs intervenant sont non-bornés sont données .Des contre-exemples accompagnent tous ces résultats. Une version quatre-opérateurs est aussi introduite. On termine par des perspectives de recherche ainsi que la bibliographie. N.B. Tous les opérateurs considérés sont linéaires, s'ils sont bornés on supposera qui le sont sur un espace de Hilbert entier, s'ils ne sont pas bornés on supposera qu'ils sont toujours définis sur un domaine

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