Les Opérateurs Lipschitziens P-dominés

Résumé: Dans ce mØmoire on Øtudie une nouvelle classe d opØrateurs dans la catØgorie des opØrateurs de Lipschitz; qui est la classe des opØrateurs de Lipschitz p-dominØs. On commence par rappeler quelques notions concernant d autres classes, puis on essaye de dØtailler l article de chen-zeng [CZ12]. On termine ce mØmoire par donner quelques relations entre ces classes. Ce mØmoire comporte de quatre chapitres. Le premier chapitre qui s intitule "espace de Lipschitz" contient des dØ nitions et des propriØtØs. On commencera par un rappel sur les espaces mØtriques. Puis on Øtudiera quelques propriØtØs fondamentales de la classe d opØrateurs lipschitziens. Nous terminerons ce chapitre avec l espace de Lipschitz Lip (X; Y ) [Ba72], nous prØsentons d abord la con- struction de l espace d Arens et Eells [AE56] notØ par ˘(X) pour X un espace mØtrique pointØ. Dans le deuxiŁme chapitre, on Øtudiera d abord la classe des opØrateurs Lipschitz p- sommants. Un opØrateur T est Lipschitz p-sommant, s il existe une constante C > 0 telle que 8n 2 N;8x = (x1; :::; xn), y = (y1; :::; yn) X et 8(ai)1 i n R+, on a Xk n=1 Xn aidY (T (xi) T (yi))p Cpf2supB X# i=1 ai jf(xi) f(yi)jp : La plus petite constante C vØri ant l inØgalitØ prØcØdente est notØe par Lp (T) ; qui est un norme dans Lp (X; Y ) si Y est un Banach l espace de tous les opØrateurs Lipschitz p- sommants. On donnera le thØorŁme de domination/factorisation de Pietsch. En Øtudiera aussi dans ce chapitre la classe des opØrateurs Lipschitz p-intØgrals [FJ09]. Un opØrateur T est Lipschitz p-intØgral, s il existe un probabilitØ et deux opØrateures lipschitziennes 1 Introduction A : X ! L1( ) et B : Lp( ) ! X A # L1 ( ) Y # : Tel que le diagramme suivant soit commutatif T ! Y I1;p ! J ! Y # " B Lp ( ) On dØ nit la norme Lipschitz p-intØgral par Lp (T) = inf fLip (A) :Lip (B)g dans IpL (X; Y ) l espace de tous les opØrateurs Lipschitz p-intØgrals. Le contenu du troisiŁme chapitre concernent la classe des opØrateurs Lipschitz fortement p-intØgrals. Un opØrateur T est Lipschitz fortement p-intØgral, s il existe un espace prob- P; ) abilisØ ( ; , un application lipshitzienne A : Lp( ) ! Y : et un opØrateur linØaire bornØe B : X ! L1( ) de sorte que le diagramme suivant soit commutatif

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