Sur La Somme, Le Produit Et Le Passage À L’adjoint Dans La Classe Des Opérateurs Fermés Sur Un Espace De Hilbert

Résumé: Dans cette thèse, on présente nos résultats concernant la somme et le produit, ainsi que la formule de l'adjoint de la somme et du produit de deux opérateurs linéaires fermés sur un espace de Hilbert H. Contrairement à la classe des opérateurs bornés, la classe des opérateurs fermés non bornés n'est pas un groupe ni pour la somme, ni pour le produit d'ailleurs. Dans les préliminaires de cette thèse, on présente les principales notions de la théorie des opérateurs linéaires fermés sur un espace de Hilbert (fermeture, graphe, adjoint..) et donne un aperçu des métriques sur la classe des fermés basée sur la métrique de gap g qui ont été développées pour essayer de la compléter. On présente aussi des exemples montrant l'instabilité de la classe des fermés vis-à-vis la somme et le produit, ce qui constitue nos motivations de cette thèse. On présente, dans un chapitre séparé, des conditions, issues de la littérature, pour lesquelles Le produit de deux opérateurs fermés soit aussi fermé. La condition suffisante de stabilité qu'on présente est basée sur une métrique d qui est, à son tour, est inspirée de la notion du bissecteur d'un opérateur fermé. On ajoute aussi une condition suffisante de stabilité basée sur les graphes des opérateurs, donc géométrique, et là aussi on montre que si la somme du graphe d'un opérateur fermé A et du graphe d'un autre, disons -B, est fermé et si N(I+AB) est fermé alors le produit AB est aussi fermé et on vérifie alors la formule de l'adjoint . Dans le chapitre suivant, on présente les conditions de stabilité de la somme de deux opérateurs linéaires fermés. On obtient des résultats sur la stabilité à l'aide d'une suite de conditions géométriques et topologiques sur les ensembles aux opérateurs fermés A,B, c. à.d. les noyaux, les orthogonaux…On obtient aussi par les mêmes conditions la formule de l'adjoint de la somme de deux opérateurs fermés.Nos perspectives seront de découvrir une approche de compléter la classe des opérateurs fermés C(H) soit par l'introduction d'une nouvelle métrique pour laquelle C(H) soit complet, soit par l'introduction d'une nouvelle classe d'opérateurs, qui contiendra C(H), complète par la métrique du gap g et d'étudier le complété de C(H).

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