Sur Quelques Problèmes De Contrôle Pour L'équation De La Chaleur Avec Et De Stabilité

Résumé: La présente thèse se compose de deux parties importantes en mathématiques appliquées. Plus précisément, elle est consacrée à l'étude et à la caractérisation du contrôle sans regret pour l'équation de la chaleur avec retard à données manquantes et à la stabilité des problèmes de Cauchy pour un système couplé d'une équation de la chaleur ou bien d'onde viscoélastique. Dans le premier volet, on étudie du contrôle de systèmes distribués avec retard et à données manquantes en utilisant la notion de contrôle sans regrets. On établit, en premier lieu, l'existence et l'unicité de la solution de l'équation de la chaleur avec retard et à données manquantes en introduisant la notion des semi-groupes. Puis, au contrôle sans regrets, on associe une suite de contrôles à moindres regrets définis par une perturbation. On montre que le système perturbé qui correspond à une suite de problèmes de contrôle standard, converge vers le contrôle sans regrets pour lequel on obtient un système d'optimalité singulier. Enfin, on arrive à construire et caractériser le contrôle sans regrets pour l'équation de la chaleur avec retard à données manquantes à partir de la suite des contrôles sans regrets déjà établis sur chaque intervalle contenu dans l'intervalle de travail. Le second volet concerne l'étude de la stabilité des problèmes paraboliques et hyperboliques. Plus précisément, on s'intéresse au comportement asymptotique d'une équation d'évolution avec des termes linéaires dissipatifs non locales et d'une équation viscoélastique. En effet, dans un premier temps, l'étude concerne l'explosion de la solution en temps fini pour un système couplé d'équations de la chaleur avec terme de mémoire. Dans un second temps, on s'intéresse à la croissance exponentielle de la solution de l'équation de chaleur viscoélastique de type bi-Laplacien. Une troisième partie est consacré principalement à l'explosion de la solution pour une classe d'équation de la chaleur de type q(x)-Laplacien avec des conditions appropriées sur les exposants q(x) et p(x) avec énergie initiale positive. Et enfin, on prouve la décroissance polynomiale de la solution d'un problème de Cauchy pour un système couplé de l'équation des ondes.

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