Sur La Stabilité Et Les Dynamiques Diffusives Dans Des Domaines Non Bornés

Résumé: Dans cette th`ese, on ´etudie l’existence de solutions stationnaires (spa tialement p´eriodiques) d’un probl`eme d’´evolution dans un domaine infiniment ´etendu, d´ecrit par une ´equation aux d´eriv´ees partielles non lin´eaire, invariante par translation (spatiale) : l’´equation de Kuramoto-Sivashinsky. Lorsque la partie non lin´eaire ne comporte aucun terme non local, on sait que toute solution stationnaire localement int´egrable est triviale. On consid`ere le cas bidimensionnel o`u la partie non lin´eaire de l’´equation est perturb´ee par un terme non local. A l’aide de la r´eduction de Liapunov-Schmidt, on d´emontre l’existence d’une classe de solutions stationnaires non triviales, p´eriodiques en espaces. L’analyse adopt´ee conduit vers des calculs de ces solutions, par un processus facilement automatisable. L’´etude des sym´etries du probl`eme, nous a permis de simplifier l’´equation r´eduite. Ainsi, on obtient un syst`eme alg´ebrique d’ordre r´eduit, `a partir duquel toutes les petites solutions station naires du probl`eme sont d´etermin´ees.

Publié dans la revue: