Étude D’un Problème Auxlimites Non Local Général Pour Une Équation Elliptique Du Second Ordre

Résumé: Les conditions aux limites de Robin ont ´ e trait´ et´ es par plusieurs auteurs ce qui n’est pas le cas des conditions aux limites non locales. Dans ce travail on s’int´ eresse aux conditions aux limites non locales g´ en´eralis´ ees. On fait une synth` ese de l’article [1] Aissa Aibeche, Nasreddine Amroune et Stephane Main- got, ”General Non Local Boundary Value problem for Second Order Elliptic Equation” ; Mathematishe Nachrichten.2017. L’ objectif ´etant l’´etude de probl`emes elliptiques avec des conditions aux limites non locales g´en´eralis´ ees (car il s’agit des coefficients op´erateurs) dans des espaces de Banach particuliers (les espaces U.M.D) :  00− x ∈−(0, 1)  u (x) + Au(x) = f (x),  0− αu (1) −−γHu(0) = d (1) 0Γ 0−  βu (0) + δKu(1) = d ,  1Γ o`u : p f ∈−L (0, 1; E); avec 1 < p < ∞−et E un espace de Banach complexe U.M.D. ∈−E. d , d 0Γ1Γ A, H etK sont des op´erateurs lin´eaires ferm´ es dans E. α, β, γ et δ ∈−C, v´erifiant : (2) (α, γ) 6= (0, 0) (α, δ) 6= (0, 0)) (β, γ) 6= (0, 0)) et (β, δ) 6= (0, 0) L’objectif est de trouver une solution stricte de ce probl`eme, c’est `a dire une fonction u telle que : 2.p p u ∈−W (0, 1; E) ∩−L (0, 1;D(A)) Avec u v´erifiant : u(0) ∈−D(H); u(1) ∈−D(K) Et v´erifiant notre probl`eme. On supposera l’hypoth` ese d’ellipticit´ e suivante : ( A est un op´erateur lin´eaire ferm´ e. −1Γ (3) [0,+∞[ ⊃−ρ(A) et supkλ(A −−λI) k− < ∞. L(E)Γ λ=0Γ 1 ese implique que −(−A) g´en` ere un semi-groupe analytique born´ e On sait que cette hypoth` 2 dans E(voir [3]) On suppose aussi que : is  ∀−s ∈−R, (−A) ∈−L(E) et ∃−θ ∈]0, π[; A  (4) is −θ |s|− ke (−A) k− < ∞. telque : sup  A L(E)Γ s∈R les op´erateurs H et K v´erifient : 0 ∈−ρ(H) ∩−ρ(K) (5) Et les conditions de commutativit´ e suivantes : −1Γ−1Γ −1Γ−1Γ −1Γ−1Γ −1Γ−1Γ −1Γ−1Γ −1Γ−1Γ (6) A H = H A , A K = K A et H K = K H 1 On pose : B = −(−A) et on consid` ere l’op´erateur Π d´efinit par : 2 −1 −1 −1Γ −1Γ 2 2Γ D(Π) = D(B αβH K ) et Π = B αβH K −−γδI Supposons que : (7) Π est inversible On d´efinit l’op´erateur Λ par : −1Γ −1Γ 2B 2B B D(Λ) = D(Π(I −−e ) = D(Π),Λ = Π(I −−e ) + 2(αδH + γβK )Be Et on suppose que : (8) Λ est inversible Cet op´erateur Λ sera le d´eterminant de notre probl`eme. De tels probl`emes se posent dans plusieurs ph´enom`enes physiques concrets. Par exemple ils apparaissent dans la th´eorie des plasma (physique des plasmas), la th´eorie du processus de diffusion [[23],[24]], les transferts de chaleur soumis `a une sp´ecification de masse, en ´ electrochimie [[5]-[7]] et ils apparaissent ´egalement dans l’interaction fluide-structure dans l’application de l’h´emodynamique[[20]]. Dans cette ´etude la nouveaut´ e est que nous consid´erons les deux conditions aux limites a coefficients op´erateurs comme des conditions aux limites non locales. Des probl`emes si- ` milaires avec les conditions locales de Robin ont ´ e examin´ et´ es, citons par exemples [[8],[9]].

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