Métriques Invariantes À Gauche Sur Les Groupes De Heisenberg De Dimension Quatre

Résumé: Ce mémoire de magister est constitué d'une introduction , de quatre chapitres et d'une bibliographie. Son object principal est l'étude des métriques invariantes à gauche sur les groupes de Heisenberg de dimension quatre.Dans le premier chapitre sont introduits et étudiés les groupes Hf (G, L,K) qui généralisent les groupes H(p,q) de GOZE et HARAGUCHI, ainsi que les Algèbres HF (G,L,K) qui sont les Algèbres de Lie des groupes Hf (G,L,K). On obtient ainsi comme cas particuliers les groupes non isomorphes H(2,1,1) et H(1,1,2), et on montre que ce sont les seuls groupes de Heisenberg de dimension quatre . Dans le deuxième chapitre , on donne une classification des métriques riemanniennes, et selon la signature des métriques pseudo-riemanniennes des groupes H(2,1,1) et H(1,1,2) . Nos résultats sont les analogues en dimension quatre d'un théorème de classification des métriques Lorenziennes sur H3 du à S.RAHMANI .Le troisième chapitre étudie le groupe des isométries d'une métrique invariante à gauche sur un groupe de Lie non necéssairement nilpotent . On donne ensuite une application aux groupes pseudo-riemanniens H(2,1,1) et H(1,1,2) .Dans le chapitre quatre , on s'interesse à un autre phénomène . on montre par deux contre-exemples que le théorème de T.Hangan qui stipule que sur le groupe de Heisenberg H2p+1 toute distribution D intégrable et totalement géodésique est necéssairement de codimension _ 2 n'est pas vrai en dimension quatre . En conclusion , on pose le problème suivant : Problème. Soit Hf (G,L,K) le groupe de Heisenberg associé au triplet de groupes de Lie :G , L , K par le bi-homomorphisme f : G × L ?! Z(K) (x, y) ?! f(x, y) On supposera que Hf (G,L,K) est muni d'une métrique g invariante à gauche . Quelles conditions doivent vérifier d'une part les groupes de Lie G , L , K , et le bi-homomorphisme de groupes de Lie f , d'autre part la métrisue g pour que toute distribution intégrable totalement géodésique D sur le groupe de Heisenberg Hf (G,L,K) soit au moins de codimension égale à dim(Z(K)) + 1 ?

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