Méthodes Finitaires Appliquées À La Résolution Des Équations De Propagation

Résumé: Le But de ce travail consiste à étudier les solutions de certains equations aux dérivées partielles par des techniques et des méthodes de l'analyse non standard. On constate que: La modélisation non standard decrit mieux que la modélisation classique les phénomènes de propagation. En effet: l'analyse classique consiste à passer du cadre experimental discret au continu par passage à la limite aussi bien en temps qu'en espace. La première difficulté de cette modélisation qui disparaitera dans le schéma non standard et que le passage du discret au continu nous plonge dans les espaces fonctionnels, donc de dimension infinies. De plus on se rend compte que la notion des fonctions s.avère insuffisante à décrire tous les phénomènes observés, on est donc amené à produire des outils mathématiques nouveaux; se sont la thèorie de la mesure puis la thèorie de distribution.Par opposition l.idéalisation que nous proposons à traiter le temps comme une variable continue par passage à la limite et de conserver à la variable d.espace son caractère discret, le pas de discretisation dx étant un réel positif in.niment petit (i.p) au sens de l'A.N.S (Analyse Non Standard).L'interprétation de la solution discrète au moyen des méthodes que fournit le langage non standard aboutit aux résultats classiques sur les E.D.P. Ce qui donne une bonne approximation des résultas physiques. De plus la formulation discrète fait apparaitre dans le traitement des cordes vibrantes un phénomène original qui est perdu dans l'approximation continue. Pour une demi équation des ondes : une vibration initiale d'amplitude in.niment petite peut à un instant donné concentré tout son énergie en un point. On obtient donc une théorie plus simple et plus riche d'enseignements.

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