Surfaces De Révolution De Type Fini Dans L’espace De Lorentz-minkowski, I-surfaces Minimales Dans L’espace De Lorentz-heisenberg.ii-energie Et Volume Des Champs De Vecteurs Dans L’espace Projectif Reél

Résumé: Cette thése se d'épartage en deux parties: la première partie est consacrée essentiellement à l'étude des surfaces de révolution dans l'espace de Minkowski-Lorentz R3 1 et l'étude des surfaces minimales dans l'espace de Lorentz-Heisenberg.La deuxième partie est entiérement consacrée à l'étude de l'énergie et le volume de champs de vecteurs sur les espaces projectifs réels PR2m+1(r).Dans première partie, on parle des surfaces de révolution de type fini de l'espace de Minkowski-Lorentz. On montreThéorème Soit M2 une surface de révolution donnée par x(u, v) = (f(u) sinh v, f(u) cosh v, g(u)) dans R3 1. Alors _xi = _ixisi et seulement si les a_rmations suivantes sont vraies 1. M2 est `a courbure moyenne nulle. 2. M2 est soit le cylindre hyperbolique lorentzien S1 1 (r)×R, soit la pseudosph`ere S2 1 (r) de rayon réel positif r. Théorème. Soit M2 une surface de révolution donnée par x(u, v) = (g(u), f(u) cos v, f(u) sin v) dans R3 1.Alors _xi = _ixi si et seulement si les énoncés suivants sont vérifiés 1. M2 est à courbure moyenne nulle 2. M2 est cylindre circulaire ou la pseudosphere S2 1 (r) de rayon réel ou l'espace pseudohyperbolique H2(r) avec un rayon imaginaire. On parle aussi dans cette partie de l'étude des surfaces minimales dans l'espace de Lorentz-Heisenberg. On donne tous les éléments qui caractérisent cet espace, comme: le tenseur de Ricci, les formes de courbure, ect... On écrit aussi l'équations des surfaces minimales associée. Pour z = f(x, y), elle est décrite par _1 - (fy - _x)2_fxx+(1-(fx+_y)2)fyy+2(fy-_x)(fx+_y)fxy = 0. Cette équation généralise celle obtenue dans [35]. On obtient quelques solutions particulières classiques comme les plans et les hélicoides et on donne des solutions elliptiques trés caractéristiques à l'espace en question. Dans la deuxième partie de cette thèse, on introduit la notion de l'energie et le volume des champs de vecteurs sur la sphère et sur l'espace projectif. On montre en particulier, contrairement à la sphère o`u il existe une direction d'instabilitée des champs de Hopf qui dépend de la courbure, que sur les espaces projectifs les champs de Hopf sont stables quelque soit le rayon.

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