Etude De Certains Problèmes Inverses Paraboliques D’ordre Fractionnaire En Temps

Résumé: Dans le pr´esent travail, on ´etudie deux classes de probl`emes inverses de diffusion avec terme source, dont la d´eriv´ee partielle par rapport au temps est fractionnaire au sens de Riemann-Liouville d’ordre non entier compris entre z´ero et un. Les probl`emes d’ E.D.P de cette forme sont dit probl`emes de sous-diffusion. La premi`ere investigation est consacr´ee `a la d´etermination d’un coefficient du terme source d´ependant du temps pour un probl`eme inverse soumis `a des conditions aux limites non locales et une condition de d´etermination int´egrale. On ´etablit des r´esultats d’existence, d’unicit´e et de d´ependance continue par rapport aux donn´ees de la solution. Les outils utilis´ees pour les d´emonstrations sont d’une part la m´ethode de Fourier pour des syst`emes bi-orthogonaux, l’op´erateur ´etant non-autoadjoint et d’une autre part la th´eorie du point fixe. Pour la deuxi`eme investigation, on se propose la d´etermination d’un coefficient du terme source d´ependant de l’espace pour un probl`eme inverse de sous-diffusion soumis `a des conditions aux limites homog`enes et une condition initiale pond´er´ee. Pour le probl`eme direct, le point cl´e dans notre analyse est l’utilisation du principe de Duhamel en plus de la m´ethode de Fourier pour montrer l’existence et l’unicit´e de la solution faible puis une question de r´egularit´e a ´et´e trait´e. Pour la d´etermination d’un unique coefficient, le probl`eme est input output. Le probl`eme inverse r´eduit en l’inversion de cette application qui devrait ˆetre monotone et d’inversion injective.

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