Les Espaces Lp Non Commutatifs

Résumé: Les travaux de ce présent mémoire s'inscrivent dans le cadre de la théorie de l'analyse non commutative. On s'intéresse à la construction des espaces LP version non commutative. La théorie de l'intégration par rapport à une trace normale fidèle sur une algèbre de Von Neumann est due à J. Dixmier [1] et C. Segal. Dans cette théorie les fonctions sont remplacées par des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert, et les mesures sont remplacées par des traces. Dixmier a traité les espaces LP non commutatifs pour 1 p +00 où il a montré les inégalités triangulaires et Hôlder version non commutatives. D'autre part, Segal ne considère que les espaces LI et 142, qui sont beaucoup plus faciles à traiter. Le mémoire se divise en trois chapitre. Dans le premier chapitre, on s'intéresse à étudier les espaces C*-algèbres en donnant quelques rappels et résultat sur cette théorie. On divise le premier chapitre en deux partie, le cas commutatif où on démontre le résultat principal qui annonce que toute C*algèbre A unitaire commutatif 'identifie à C(K) tel que K est spectre de A, la deuxième partie concerne le cas non commutative dont on verra que toute C*-algèbre s'identifie à une C*-sous algèbre de B(H). Ensuite, on consacre le deuxième chapitre à étudier les algèbres de Von Neumann. Une algèbre de von Neumann donc (nommée en rhonneur de John von Neumann) est une *-algèbre d'opérateurs bornés sur un espace de Hilbert, fermée pour la topologie faible, et qui contient l'opérateur identité. On verra que ces espaces se caractérisent par la coïncidence avec leurs bicommutants. Dans le troisième chapitre on définit les espaces LP non commutatifs et on essayera d'étudier quelques propriétés sur ces nouvelles espaces. On va suivre le plan suivant : Chapitre 1 : C*-algèbres Chapitre 2 : Algèbre de Von Neumann. Chapitre 3 : Intégration non commutative et espaces Lp.

Publié dans la revue: