Étude Spectrale D’une Classe D’opérateurs Différentiels Non Homogènes

Résumé: Dans cette thèse, nous étudions différentes équations aux dérivées partielles non linéaires de type elliptique. Nous montrons l’existence des solutions non triviales de certains problèmes faisant intervenir l’opérateur non-homogène p(x)−Laplacien. Cette thèse est répartie en quatre chapitres. Dans le premier chapitre, nous donnons une introduction générale et quelques propriétés de base des espaces de Lebesgue et de Sobolev à exposant variable. Dans le chapitre deux, nous nous intéressons à l’étude des valeurs propres du p(x)−Laplacien avec poids. Nous démontrons qu’il existe λ1 et λ2 réels tels que 0 < λ2 ≤ λ1 et λ1 est une valeur propre du problème considéré. La technique utilisée est basée essentielle ment sur des méthodes variationnelle. Dans le chapitre trois, nous traitons le problème du p(x)−Laplacien avec une non linéairité concave-convexe. Nous montrons moyennant le principe variationnel d’Eke land et le théorème du Col que de tels problèmes admettent des solutions faibles pour tout λ ∈ R. Dans le chapitre quatre, nous étudions le problème du p(x)−Laplacien avec des condi tions de Neumann. Nous montrons l’existence d’une solution faible avec une énergie négative en utilisant le principe d’Ekeland et une solution faible avec une énergie positive en utilisant le théorème du Col. Nous terminons cette thèse avec une conclusion et quelques perspectives.

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