L'idéal Des Opérateurs M-linéaires (p;q;r)-sommants

Résumé: La théorie d’opérateurs p-sommant due à Pitesch en 1967, et qui permit peu après Lindenstrauss et Pe÷czy´nski de mettre en exergue l’importence du Théorème de Grothendieck, qui, bien que démontré au milieu des années 50 n’avait jusque là pas été bien compris. Au début des années 80, la théorie des idéaux d’opérateurs, comme il a été présenté par Pietsch et principalement dans [Pie80]. Plusieurs de ces idéaux d’opérateurs sont étudiés, parmi lesquelles on trouve l’idéal p;q;r des opérateurs linéaires (p; q; r)- sommants. On dit qu’un opérateur linéaire T 2 L (X; Y ) est (p; q; r)-sommant s’il existe une constante positive C, telle que pour tout (xi)1 i n X et tout (yi )1 i n Y , on a (hT (xi) ; yi i)1 i n p C (xi)1 i n q:w (yi )1 i n r:w avec 1 p 1 q + 1 r : Si r = 1; on a le concept d’opérateur (p; q)-sommant est due à Mitiagin-Pe÷czy´nski [MP66]. L’espace p;q;r des opérateurs (p; q; r)-sommant est un quasi-Banach idéal muni de la quasi norme (p;q;r) (T) = inf c: (p;q;r) possède de bonnes propriétés tel que, le théorème de Domination de Pietsch , le théorème d’inclusion,..ext. Dans [Pie83] Pietsch a proposé une approche multilinéaire à la théorie des opérateurs absolument sommants et, plus généralement, à la théorie des idéaux d’opérateur. Motivés par l’importence de cette théorie, plusieurs auteurs ont développé et étudié plusieurs concepts relatifs à la sommabilité. Très récemment, D. Achour [Ach11] introduit la notion des opérateurs m-linéaires (p; q; r)-sommants. Pour cela l’objectif de ce travail est de nous donner une étude approfondie de cette classe d’opérateurs Ce travail est divisé en trois chapitres. Dans le Chapitre Préliminaires, nous donnons rapidement les dé…nitions de suites sommables et faiblement sommables. Nous donnons quelques informations sur les notions de type et cotype. Nous terminons ce chapitre par la dé…nition d’un multi-idéal avec des exemples. Dans le Chapitre 2, après avoir donné la dé…nition et signalé la proprité d’ideal possédée par l’espace des opérateurs m-linéaires (p; q1; :::qm; r)-sommants, nous prouvons le Théorème de Domination de Pietsch. Il s’ensuit facilement que : Si (r = 1) ou r = 1; p1 = q11 + + q1m ou (r = 1; q1 = = qm = p) ; l’espace des opérateurs mlinéaires (p; q; r)-sommants est coincide avec l’espace des opérateurs m-linéaires (p; q1; :::qm)- sommants introduite par Pitesch dans [Pie83]. Finalement, nous obtenir certaines inclusions entre les di¤érentes classes étudiées dans le présent document. Nous donnons dans le Chapitre 3, quelques résultats, prouvés à l’origine d’une autre façon, mais que l’on obtient facilement à l’aide de propriétés des opérateurs (p; q; r)- sommants : le théorème du Théorème de Defant-Voigt [BP07] et le Théorème de Grothenieck [BPS11]..

Publié dans la revue: